La solución de ecuaciones de la forma f(x) = 0 se obtiene en muchas aplicaciones. Si f(x) es un polinomio de grado dos, tres o cuatro, podemos tener fórmulas para calcular sus raíces. Pero, si f(x) es un polinomio de orden superior o una función trascendental debemos utilizar métodos numéricos para encontrar la raíz aproximada.
Teorema de Bolzano
Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo (es decir, f(a)f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) donde f(c) = 0.
Método de bisección
El método de bisección es un método numérico para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones no lineales. En criptografía, este método se utiliza para resolver ecuaciones que involucran funciones matemáticas utilizadas en algoritmos criptográficos, como la generación de claves o la encriptación/desencriptación.
El método de bisección se basa en el teorema del valor intermedio y se aplica en un intervalo inicial que contiene la solución buscada. En cada iteración, el método divide el intervalo a la mitad y selecciona el subintervalo en el que la función cambia de signo. Repitiendo este proceso iterativamente, se obtiene una aproximación cada vez más precisa de la solución. Este método converge lentamente.
Método de punto fijo
El método de punto fijo es otro método utilizado en criptografía para encontrar soluciones a ecuaciones no lineales. En particular, se utiliza para resolver ecuaciones f(x) poniéndolas de la forma x = g(x) (función de punto fijo). Mediante las iteraciones tendremos sucesivas aproximaciones, fijando una semilla x = p0:
p1 = g(p0)
p2 = g(p1)
…
pn = g(pn-1)
En criptografía, el método de punto fijo se utiliza en algoritmos que involucran transformaciones iterativas, como funciones de hash o generadores de secuencias pseudoaleatorias. El método encuentra el punto fijo de la función iterando a través de sucesivas aproximaciones, comenzando con una suposición inicial. A medida que se repite el proceso iterativo, se obtiene una aproximación más precisa del punto fijo.
Teorema.
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En este caso la sucesión .png)
converge al punto fijo para cualquier semilla.
Método de Newton-Raphson
En criptografía, este método se aplica en algoritmos que involucran ecuaciones no lineales, como en la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas o en el criptoanálisis de cifrados.
El método de Newton-Raphson utiliza la derivada de una función para encontrar raíces aproximadas:
g(x) = x - f(x)/f'(x)
Comienza con una suposición inicial (p0) y realiza iteraciones sucesivas para mejorar la aproximación de la raíz. A medida que se repite el proceso iterativo, se obtiene una aproximación más precisa de la raíz de la función:
g(p1) = p0- f(p0) / f'(p0)
g(p2) = p1- f(p1) / f'(p1)
…
g(pn) = p(n-1)- f(pn-1) / f'(pn-1)
Estos métodos numéricos proporcionan soluciones aproximadas y pueden requerir un número variable de iteraciones para converger hacia una solución precisa. Además, en criptografía, el uso de estos métodos se combina con técnicas criptográficas adicionales para garantizar la seguridad y confidencialidad de los datos.